Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe + Parciális differenciálegyenletek - Feladatgyűjtemény (2 mű)

Fülszöveg
Ez a mű az alkalmazások szempontjából igen fontos klasszikus témakört modern eszközökkel - az általánosított függvény fogalmára építve - tárgyalja. Ennek következtében a klasszikus fogalmak és eredmények egyrészt világosabbak és áttekinthetőbbek lesznek, másrészt általánosabb érvényűvé válnak. Például egyes esetekben a klasszikus tárgyalás feltételei fontos műszaki problémákban nem teljesülnek és az általánosított függvények segítségével a megoldás ilyenkor is felírható. A könyv megértéséhez csupán a klasszikus differenciál- és integrálszámítás ismerete szükséges, a modernebb felhasznált fogalmak a mű ismerteti. A könyv a Moszkvai Fizikai-Technikai Főiskolán előadott tananyag alapján készült.Tartalom
Előszó a harmadik kiadáshoz 15
Előszó a második kiadáshoz 16
Előszó az első kiadáshoz 17
A matematikai fizika feladatainak megfogalmazása
A halmazelmélet, a valós függvénytan és a funkcionálanalízis néhány alapfogalma és tétele 19
Ponthalmazok Rn-ben 19
A Cp(G) és a CP(G) függvényosztály 21
A C(T) függvénytér 22
A Lebesgue-integrál 23
Paramétertől függő Lebesgue-integrál 28
Potenciál típusú integrál 29
Az L2(G) függvénytér 32
Ortonormált rendszerek 34
Teljes ortonormált rendszerek 36
Lineáris operátorok és funkcionálok 38
Lineáris egyenletek 41
Szimmetrikus operátorok 43
A matematikai fizika nevezetes egyenletei 45
Hullámmozgások differenciálegyenlete 45
A diffúziós egyenlet 48
Stacionárius egyenletek 50
A transzportegyenletek 51
A hidrodinamika egyenletei 52
A Maxwell-egyenletek 52
A Schrödinger-egyenlet 53
A Klein - Gordon-egyenlet és a Dirac-egyenlet 54
Másodrendű kvázilineáris differenciálegyenletek osztályozása 55
Az egyenletek osztályozása egy pontban 55
A Laplace-operátor felírása gömbi koordinátákban és hengerkoordinátákban 57
Karakterisztikus felületek (karakterisztikák) 58
Kanonikus alak két független változó esetén 60
A másodrendű lineáris differenciálegyenletekre vonatkozó alapfeladatok megfogalmazása 67
A feladatok osztályozása 67
Cauchy-feladatok 68
A karakterisztikák szerepe a Cauchy-feladat megfogalmazásában 69
Peremérték-feladat elliptikus egyenletre 71
Vegyes feladat 72
Egyéb feladatok 73
A matematikai fizika feladatainak korrekt kitűzése 74
Kovalevszkaja tétele 75
Hadamard példája 76
Klasszikus és általánosított megoldások 77
Általánosított függvények (disztribútorok)
Alapfüggvények és általánosított függvények 79
Bevezetés 79
Az alapfüggvények tere (D függvénytér) 81
Az általánosított függvények tere (D' tér) 83
A D' disztribúciótér teljessége 84
Az általánosított függvény tartója 87
Reguláris disztribúciók 88
Szinguláris disztribúciók 90
Szohockij-formulák 91
A változók lineáris transzformációja általánosított függvények esetén 92
Disztribúció szorzása függvénnyel 93
Gyakorló feladatok 95
Disztribúciók differenciálása 96
Disztribúció deriváltja 96
Az általánosított derivált tulajdonságai 97
Disztribúció primitív függvénye 99
Példák az n=1 esetben 101
Példák az n>=2 esetben 105
Gyakorló feladatok 114
Disztribúciók direkt szorzata és konvolúciója 116
A direkt szorzat definíciója 116
A direkt szorzat kommutativitása 119
A direkt szorzat további tulajdonságai 120
Konvolúció disztribúciók körében 121
A konvulúció tulajdonságai 124
A konvolúció létezése 126
Disztribúciók D'+ konvolúcióalgebrája 127
Egyenletek a D'+ konvolúcióalgebrában 129
Disztribúciók regularizálása 131
Példák konvolúcióra. Newton-potenciál 132
Gyakorló feladatok 134
Temperált disztribúciók 136
Az alaptér 136
A temperált disztribúciók tere 137
Példák temperált disztribúcióra 138
Egyetlen pontra koncentrált disztribúció 139
Temperált disztribúciók direkt szorzata 141
Temperált disztribúciók konvolúciója 142
Fourier-transzformáció temperált disztribúciók körében 144
A térbeli alapfüggvények Fourier-transzformáltja 144
A térbeli disztribúciók Fourier-transzformáltja 145
A Fourier-transzformáció tulajdonságai 147
Kompakt tartójú disztribúció Fourier-transzformáltja 149
Konvolúció Fourier-transzformáltja 150
Példák n=1 esetén 150
Példák n>=2 estén 154
Gyakorló feladatok 158
Laplace-transzformáció disztribúciók körében (operátorszámítás) 159
Lokálisan integrálható függvény Laplace-transzformáltja 159
Disztribúciók Laplace-transzformáltja 160
A Laplace-transzformáció tulajdonságai 162
Inverz Laplace-transzformáció 164
Példák és alkalmazások 167
Gyakorló feladatok 170
Az alapmegoldás és a Cauchy-feladat
Lineáris differenciáloperátorok alapmegoldása 173
Lineáris differenciálegyenletek általánosított megoldása 173
Alapmegoldások 174
Tetszőleges jobb oldalú egyenletek 176
A leereszkedés módszere 177
Közönséges lineáris differenciáloperátorok alapmegoldása 179
A hővezetés egyenletének alapmegoldása 180
A hullámegyenlet alapmegoldása 181
A Laplace-operátor alapmegoldása 183
A Helmholtz-egyenlet alapmegoldása 184
A Cauchy - Riemann-operátor alapmegoldása 185
A transzportegyenlet alapmegoldása 186
Gyakorló feladatok 187
Késleltetett potenciál 188
A hullámegyenlet alapmegoldásának tulajdonságai 188
A konklúcióval kapcsolatos néhány kiegészítés 190
Késleltetett potenciál 192
Felületi késleltetett potenciálok 195
A hullámegyenletre vonatkozó Cauchy-feladat 199
Közönséges lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletre vonatkozó Cauchy-feladat 199
A hullámegyenletre vonatkozó általánosított Cauchy-feladat megfogalmazása 200
Az általánosított Cauchy-feladat megoldása 202
A klasszikus Cauchy-feladat megoldása 203
Gyakorló feladatok 205
Hullámterjedés 207
Hullámterjedés a térben 207
Hullámterjedés a síkon 209
Hullámterjedés az egyenesen 210
A terjedő hullámok módszere 213
A tükrözés módszere félig végtelen húr esetében 215
A tükrözés módszere véges húr esetében 217
Riemann módszere 219
A Gaursat-feladat megoldása 219
A Green-formula 223
A Riemann-függvény 223
A Cauchy-feladat 226
Cauchy-feladat a hővezetés egyenletére 230
Hőpotenciál 230
Felületi hőpotenciálok 232
A hővezetés egyenletére vonatkozó általánosított Cauchy-feladat kitűzése 234
A Cauchy-feladat megoldása 235
Gyakorló feladatok 236
Integrálegyenletek
Alapfogalmak. A szukcesszív approximáció módszere 239
Folytonos magú integrálegyenletek 240
Iterált magfüggvények. Rezolvens 243
Volterra-típusú integrálegyenletek 246
Gyenge szingularitású integráloperátorok 248
Gyakorló feladatok 252
A Fredholm-tételek 254
Elfajult magú integrálegyenletek 254
Fredholm-tételek elfajult magú integrálegyenletekre 256
Fredholm-tételek folytonos magú integrálegyenletekre 259
A Fredholm-tételek következményei 262
Fredholm-tételek gyenge szingularitású integráloperátorokra 263
Gyakorló feladatok 265
Szimmetrikus magú integrálegyenletek 267
Szimmetrikus, folytonos magú integráloperátorok 267
Ascoli tétele 268
Szimmetrikus, folytonos magú integrálegyenletek 269
Szimmetrikus, gyenge szingularitású magú integrálegyenletek 271
A Hilbert - Schmidt-tétel és következményei 273
A Hilbert - Schmidt-tétel szimmetrikus, folytonos mag esetén 273
Az iterált magok bilineáris sorfejtése 276
Szimmetrikus, folytonos mag bilineáris sorfejtése 277
Szimmetrikus, folytonos magú inhomogén integrálegyenletek megoldása 278
Pozitív definit magfüggvények 280
A Hilbert - Schmidt-tétel kiterjesztése szimmetrikus, gyenge szingularitású magfüggvények esetére 281
Jentsch tétele 282
Kellog módszere 284
Mercer tétele 287
Elliptikus egyenletekre vonatkozó peremérték-feladatok
Sajátérték-feladat 289
A sajátérték-probléma kitűzése 289
Green-formulák 290
Az L operátor tulajdonságai 291
Az L operátor sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek tulajdonságai 293
A sajátértékek és sajátfüggvények fizikai jelentése 296
Gyakorló feladatok 297
Strum - Liouville-probléma 298
A Green-függvény 298
A Sturm - Liouville-feladat visszavezetése integrálegyenletre 301
A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai 302
A sajátértékek és sajátfüggvények meghatározása 304
Bessel-függvények 306
A Bessel-függvények definíciója és legegyszerűbb tulajdonságai 306
Ortogonalitás 308
Rekurziós formulák 309
A Bessel-függvények gyökei 310
A Bessel-egyenletre vonatkozó sajátérték-probléma 312
A Bessel-egyenletre vonatkozó inhomogén peremérték-feladat 313
A Bessel-függvények rendszerének teljessége 315
További hengerfüggvények 316
Gyakorló feladatok 318
Harmonikus függvények 319
Green-formula 319
A Green-formulák általánosítása 321
Középérték-tétel 323
A maximumelv 324
A maximumelv következményei 325
Harmonikus függvény megszüntethető szingularitása 326
Általánosított értelemben harmonikus függvények 327
A harmonikus függvények további tulajdonságai 328
A Liouville-tétel analogonja 330
Gyakorló feladatok 330
Gömbfüggvények 332
A gömbfüggvények definíciója 332
A gömbfüggvények differenciálegyenlete 333
A Legendre-polinomok 334
Generátorfüggvény 336
Asszociált Legendre-függvények 338
Gömbfüggvények 339
A Laplace-formula 341
A Laplace-egyenlet megoldása a térbeli polárkoordináták szerinti változók szétválasztásával 342
Gyakorló feladatok 343
A sajátérték-probléma megoldása a Fourier-módszerrel 344
A Fourier-módszer az általános esetben 344
Példák 345
Newton-potenciál 350
Térfogati potenciál 350
Egyszerű réteg és kettősréteg potenciálja 352
A Newton-potenciálok fizikai jelentése 354
Ljapunov-felületek 355
Az egyszerű és a kettősréteg potenciáljának tulajdonságai az S felületen 359
A kettősréteg potenciáljának ugrása az S felületen 361
Az egyszerű réteg potenciálja normálismenti deriváltjának ugrása 362
Gyakorló feladatok 364
A háromdimenziós Laplace-egyenletre és Poisson-egyenletre vonatkozó peremérték-feladatok 365
A legfontosabb peremérték-feladatok kitűzése 365
Harmonikus függvények viselkedése a végtelenben 366
A peremérték-feladatok megoldásának egyértelműsége 367
A peremérték-feladat visszavezetése integrálegyenletre 369
Az integrálegyenletek vizsgálata 371
A Dirichlet-feladat és a Neumann-feladat megoldása gömbben 375
A Dirichlet-feladat Green-függvénye 377
A Green-függvény definíciója és tulajdonságai 377
Példák a Green-függvény meghatározására (a tükrözés módszere) 380
A peremérték-feladat megoldása Green-függvény segítségével 382
A Poisson-formula 383
A peremérték-feladat visszavezetése integrálegyenletre 387
A sajátértékek és sajátfüggvények tulajdonságai 386
Gyakorló feladatok 388
A Helmholtz-egyenlet 390
A Sommerfeld-féle kisugárzási feltételek 390
A homogén Helmholtz-egyenlet 391
Potenciálok 393
A határabszorpció elve 395
A határamplitúdó elve 396
A Helmholtz-egyenletre vonatkozó premérték-feladatok 397
Külső feladatok gömb esetében 398
Gyakorló feladatok 399
A Laplace-egyenletre vonatkozó peremérték-feladatok a síkon 400
Harmonikus függvény viselkedése a végtelenben 400
A peremérték-feladatok kitűzése és a megoldás egyértelműsége 402
Logaritmikus potenciál 402
A peremérték-feladatok megoldásának létezése 405
A peremérték-feladatok megoldása kör esetén 408
A Dirichlet-feladat Green-függvénye 410
A Dirichlet-feladat megoldása egyszeresen összefüggő tartományban 411
Gyakorló feladatok 412
Vegyes feladatok
A Fourier-módszer 415
Homogén hiperbolikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 416
Inhomogén hiperbolikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 417
Parabolikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 419
A Schrödinger-egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 420
Elliptikus egyenlet megoldása Fourier-módszerrel 421
Példák 422
Gyakorló feladatok 428
Hiperbolikus egyenletre vonatkozó vegyes feladat 429
A klasszikus megoldás. Energiaintegrál 429
A klasszikus megoldás egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függése 431
Paramétertől folytonosan függő (G) térbeli függvények 435
Általánosított megoldás 437
Az általánosított megoldás egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függése 439
Az általánosított megoldás létezése 440
A klasszikus megoldás létezése 442
Parabolikus egyenletre vonatkozó vegyes feladat 445
A klasszikus megoldás. Maximumelv 445
A klasszikus megoldás egyértelműsége és az adatoktól való folytonos függése 447
Általánosított megoldás 448
Az általánosított megoldás létezése 450
A klasszikus megoldás létezése 451
Irodalom 452
A legfontosabb jelölések jegyzéke 456
Tárgymutató 459
Tartalom
Előszó 7
A legfontosabb jelölések és definíciók 9
A matematikai fizika feladatainak megfogalmazása
Az egyenletek levezetése és a feladatok megfogalmazása 11
Másodrendű differenciálegyenletek osztályozása 32
Függvények és integrálegyenletek
Mérhető függvények. Lebesgue-integrál 38
Függvényterek 45
Integrálegyenletek 63
Általánosított függvények
Alapfüggvények és általánosított függvények (disztribúciók) 84
Disztribúciók differenciálása 91
Disztribúciók direkt szorzata és konvelúciója 99
Temerált disztribúciók Fourier-transzformáltja 108
Disztribúciók Laplace-transzformáltja 114
Lineáris differenciáloperátorok alapmegoldása 118
A Caushy-feladat
A másodrendű hiperbolikus egyenletekre vonatkozó Cauchy-feladat 126
A hővezetés egyeletére vonatkozó Cauchy-feladat 149
Más egyenletekre vonatkozó Cauchy-feladat és a Goursat-feladat 160
Elliptikus egyenletekre vonatkozó peremérték-feladatok
A Sturm-Liouville-probléma 174
A változók szétválasztásának módszere a Laplace- és a Poisson-egyenlet esetén 184
A Laplace-operátor Green-függvénye 198
A potenciálok módszere 205
Variációs módszerek 224
Vegyes feladatok
A változók szétválasztásának módszere 234
Egyéb módszerek 265
Irodalomjegyzék 273